1 Frage zu Funktionalanalysis

Der Ausdruck beschreibt einen **linearen Operator** δ, der von der Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1], also \( C[0,1] \), in die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) abbildet. Die Abbildungsvorschrift lautet: \[ \delta(f) = f(0) \] Das bedeutet: Zu jeder Funktion \( f \) aus \( C[0,1] \) wird der Funktionswert an der Stelle 0 genommen. **Untersuchung:** 1. **Linearität:** Ein Operator \( T \) ist linear, wenn für alle \( f, g \in C[0,1] \) und alle \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) gilt: \[ T(\alpha f + \beta g) = \alpha T(f) + \beta T(g) \] Für δ gilt: \[ \delta(\alpha f + \beta g) = (\alpha f + \beta g)(0) = \alpha f(0) + \beta g(0) = \alpha \delta(f) + \beta \delta(g) \] **Ergebnis:** δ ist linear. 2. **Stetigkeit (Beschränktheit):** Ein linearer Operator zwischen normierten Räumen ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist. Für \( C[0,1] \) wird meist die Supremumsnorm verwendet: \[ \|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \] Für alle \( f \in C[0,1] \) gilt: \[ |\delta(f)| = |f(0)| \leq \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| = \|f\|_\infty \] Das heißt, δ ist beschränkt (und damit stetig), mit Operatornorm höchstens 1. **Zusammenfassung:** Der Operator δ ist ein **stetiger linearer Funktional** auf \( C[0,1] \), der jeder Funktion ihren Wert an der Stelle 0 zuordnet. In der Funktionalanalysis nennt man so etwas auch ein **Punktwertfunktional**. Weitere Infos zu linearen Operatoren findest du z.B. bei [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Linearer_Operator).