1 Frage zu Einheitsintervall

Das kartesische Kreuzprodukt (auch kartesisches Produkt genannt) von zwei topologischen Räumen \(X\) und \(Y\) ist der Raum \(X \times Y\), ausgestattet mit der Produkttopologie. Wenn \(X\) ein Punkt ist und \(Y\) das Einheitsintervall \([0, 1]\), dann ist das kartesische Produkt \(X \times Y\) einfach eine Kopie von \(Y\). Formal: - Sei \(X = \{x_0\}\) ein topologischer Raum, der nur aus einem Punkt \(x_0\) besteht. - Sei \(Y = [0, 1]\) das Einheitsintervall mit der Standardtopologie. Das kartesische Produkt \(X \times Y\) ist dann die Menge \(\{x_0\} \times [0, 1]\), die sich als \(\{(x_0, y) \mid y \in [0, 1]\}\) schreiben lässt. Da \(X\) nur einen Punkt enthält, ist \(X \times Y\) topologisch äquivalent zu \(Y\) selbst, also dem Einheitsintervall \([0, 1]\). In der Produkttopologie sind die offenen Mengen in \(X \times Y\) genau die Mengen der Form \(U \times V\), wobei \(U\) eine offene Menge in \(X\) und \(V\) eine offene Menge in \(Y\) ist. Da \(X\) nur einen Punkt enthält, ist jede Teilmenge von \(X\) offen, und somit ist die Produkttopologie auf \(X \times Y\) einfach die Standardtopologie auf \(Y\). Zusammengefasst: Das kartesische Kreuzprodukt eines Punktes und des Einheitsintervalls ist topologisch äquivalent zum Einheitsintervall selbst.