3 Fragen zu Dichtefunktion

Die Begriffe "Dichtefunktion" und "Funktionsdichte" werden oft synonym verwendet, insbesondere im Kontext der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in der Statistik. Beide Begriffe beziehen sich auf eine Funktion, die die Dichte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Eine **Dichtefunktion** (oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, PDF) ist eine Funktion, die angibt, wie die Wahrscheinlichkeit über einen kontinuierlichen Zufallsvariablenraum verteilt ist. Für eine Zufallsvariable \( X \) ist die Dichtefunktion \( f(x) \) so definiert, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) in einem bestimmten Intervall liegt, durch das Integral der Dichtefunktion über diesem Intervall gegeben ist. Beispiel: Für eine normalverteilte Zufallsvariable \( X \) mit Mittelwert \( \mu \) und Standardabweichung \( \sigma \) ist die Dichtefunktion: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \] Der Begriff **Funktionsdichte** wird weniger häufig verwendet, kann aber in bestimmten Kontexten ebenfalls auf die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung hinweisen. Es gibt keine wesentlichen Unterschiede zwischen den beiden Begriffen, und sie können in der Regel austauschbar verwendet werden. Zusammengefasst: Beide Begriffe beziehen sich auf die gleiche mathematische Funktion, die die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten einer kontinuierlichen Zufallsvariablen beschreibt.

Nein, das stimmt nicht. Die Dichtefunktion einer Normalverteilung, auch bekannt als Gaußsche Glockenkurve, nimmt nur nicht-negative Werte an. Sie ist immer größer oder gleich null für alle Werte der Zufallsvariablen. Die Funktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte und kann daher keine negativen Werte annehmen.

Ja, die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung (auch bekannt als Gaußsche Normalverteilung) hat ihr Maximum bei Null. Die Standardnormalverteilung ist eine spezielle Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1. Die Dichtefunktion dieser Verteilung, auch als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) bezeichnet, erreicht ihren höchsten Wert bei \( x = 0 \).