1 Frage zu Cnf

Um die Formel \( \phi_1 = \neg((p \to (q \land \neg r)) \leftrightarrow (\neg p \lor (q \land r))) \) in konjunktiver Normalform (CNF) und disjunktiver Normalform (DNF) zu bringen, gehen wir schrittweise vor. ### Schritt 1: Umformulierung der Implikationen und Äquivalenzen 1. Die Implikation \( p \to (q \land \neg r) \) kann umgeschrieben werden als \( \neg p \lor (q \land \neg r) \). 2. Die Äquivalenz \( A \leftrightarrow B \) kann umgeschrieben werden als \( (A \land B) \lor (\neg A \land \neg B) \). Setzen wir dies in die Formel ein: \[ \phi_1 = \neg(((\neg p \lor (q \land \neg r)) \leftrightarrow (\neg p \lor (q \land r)))) \] ### Schritt 2: Umformulierung der Äquivalenz Setzen wir die Äquivalenz um: \[ \phi_1 = \neg(((\neg p \lor (q \land \neg r)) \land (\neg p \lor (q \land r))) \lor (\neg(\neg p \lor (q \land \neg r)) \land \neg(\neg p \lor (q \land r)))) \] ### Schritt 3: Negation anwenden Nun wenden wir die Negation an: \[ \phi_1 = \neg((\neg p \lor (q \land \neg r)) \land (\neg p \lor (q \land r))) \land \neg(\neg(\neg p \lor (q \land \neg r)) \land \neg(\neg p \lor (q \land r))) \] ### Schritt 4: CNF und DNF Um die CNF und DNF zu finden, müssen wir die Formel weiter vereinfachen. #### CNF (Konjunktive Normalform) Die CNF ist eine Konjunktion von Disjunktionen. Um die CNF zu finden, können wir die Distributivgesetze anwenden und die Formel in eine Form bringen, die aus Konjunktionen von Disjunktionen besteht. #### DNF (Disjunktive Normalform) Die DNF ist eine Disjunktion von Konjunktionen. Auch hier wenden wir die Distributivgesetze an, um die Formel in eine Form zu bringen, die aus Disjunktionen von Konjunktionen besteht. ### Ergebnis Die vollständige Umformung in CNF und DNF kann komplex sein und erfordert oft mehrere Schritte der Vereinfachung. Die endgültigen Formen können je nach den angewendeten Regeln und Vereinfachungen variieren. Für die exakte Darstellung in CNF und DNF wäre es am besten, dies mit einem formalen Beweis oder einem logischen Rechner zu überprüfen, um sicherzustellen, dass alle Schritte korrekt durchgeführt wurden.